計算問題

１）

\sqrt{\dfrac{81^{2}+49^{2}+2^{16}}{2}}=?

81^{2}+49^{2}+2^{16}=9^{4}+7^{4}+16^{4}・・・・・①

a=8とおく

①は

(a+1)^{4}+(a-1)^{4}+(2a)^{4}・・・・・・②

となる

(a+1)^{4}=a^{4}+4a^{3}+6a^{2}+4a+1・・・・・③

(a-1)^{4}=a^{4}-4a^{3}+6a^{2}-4a+1・・・・・・④

(2a)^{4}=16a^{4}・・・・・・⑤

②＝③＋④＋⑤だから

これを計算すると

②＝18a^{4}+12a^{2}+2

    ＝2(3a^{2}+1)^{2}

∴？＝3a^{2}+1=３×６４+１＝１９３

 

２）

\sqrt{4444222225}=?

4444222225=4444222200+25

4444222200=2222×2000100

=2222×3×666700

=6666×6667×100

6666=bとおくと

①＝100b(b+1)+25＝(10b+5)^{2}

∴？＝10b+5=66665

 

３）

\dfrac{\sqrt{21}+\sqrt{33}+\sqrt{49}+\sqrt{77}}{\sqrt{3}+\sqrt{11}+\sqrt{28}}＝？

 

与式の分子について

\sqrt{3}\left(\sqrt{7}+\sqrt{11}\right)+\sqrt{7}\left(\sqrt{7}+\sqrt{11}\right)

＝(\sqrt{3}+\sqrt{7})(\sqrt{7}+\sqrt{11})

と変形できる

 

与式の分母について

(\sqrt{3}+\sqrt{7})+(\sqrt{7}+\sqrt{11})

と変形できる

 

\sqrt{3}+\sqrt{7}=x   \sqrt{7}+\sqrt{11}=y

とおくと

\dfrac{1}{x}=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{4}・・・・・①

\dfrac{1}{y}=\dfrac{\sqrt{11}-\sqrt{7}}{4}・・・・・②

 

与式の分母は

①＋②で

分子は１と表せる

①+②＝\dfrac{\sqrt{11}-\sqrt{3}}{4}

 

∴？＝\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{11}}{2}