YouTubeで見つけた整数問題

\sqrt{2026}+\sqrt{2024}

整数部分を求めよ

 

2025={45}^2なので

45<\sqrt{2026}<46

44<\sqrt{2024}<45

従って

45+44<\sqrt{2026}+\sqrt{2024}<46+45

だから

与式の整数部分は

89か90であることが言えます

90-(\sqrt{2026}+\sqrt{2024})

=45-\sqrt{2024}-(\sqrt{2026}-45)

45-\sqrt{2024}=\dfrac{45-\sqrt{2024}}{1}

として、これの分子分母に

45+\sqrt{2024}

をかけると

45-\sqrt{2024}\dfrac{1}{45+\sqrt{2024}}

同様にして

\sqrt{2026}-45=\dfrac{1}{45+\sqrt{2026}}

\dfrac{1}{45+\sqrt{2024}}-\dfrac{1}{45+\sqrt{2026}}>0

故に

\sqrt{2026}+\sqrt{2024}<90

となるので

与式の整数部分は

89であることが言えます