hanaji54の日記

因数分解の一意性について

先日

紹介されていた

$x^{5}+x+1$ を

因数分解せよという

問題にチャレンジしてみました

自明なのは

この式に

ｘ＝１または-1を

代入して

0にならないので

２次式と３次式に

因数分解できるということです

正解できはしたものの

私の解き方では

満点は

もらえません

因数分解の一意性を

示すことが出来て

初めて

満点です

因数分解の一意性を

証明するには

少し

否

かなり

難しいです

上述の問題では

因数分解の一意性を

示さなくても

私の解法手順で

もう一つの可能性を

否定できれば

満点になります

紹介されていた

模範解答は

$x^{3}=1$ の虚数解を

用いるものでした

その値をωとすると

$\omega ^{2}+\omega +1=0$

となります

ωを

$x^{5}+x+1$ に代入して

ωについて

$\omega ^{3}=1$

なので

$\omega ^{5}=\omega ^{3}\cdot \omega ^{2}=1$ であることから

$x^{5}+x+1$ は

$x^{2}+x+1$ で

割り切れることが

分かります

従って

$x^{5}+x+1=\left( x^{2}+x+1\right) \left( x^{3}-x^{2}+1\right)$

と因数分解できます

今日は

数学マニアの

自己満足でした

数学なぞかけ

数学とかけて

俳句ととく

その心は

色んな記号（季語）を使うでしょう