数学は約束即ち定義から

小学校の算数から

大学の数学に至るまで

数学は

始めに

定義と呼ばれる

約束ごとから

始まります

しかし

小学校では

足し算

引き算

掛け算

割り算をはじめ

全て一方的に

教えられます

中学校でも

（－1）ｘ（－１）＝１を

数学的には

教えてもらっていなかった

ような気がします

これは

Y＝－ｘという１次関数が

直線の関数となるためには

ｘがマイナスで与えられた時

値がプラスにならないと

都合が悪いので

（－1）ｘ（－１）＝１と

約束しましょうという

ことなのです

更には

高校では

$2^{0}$ =1

なんてことも

習います

例えば

これも

$2^{5}$ ÷ $2^{3}$ = $2^{5-3}$ = $2^{2}$ のように

$a^{m}$ ÷ $a^{n}$ = $a^{m-n}$

という法則性が常に

成り立つように

ｍ＝ｎ＝０の場合は

$a^{0}$ =１にしましょうと

定義するのです

逆に

定義をしないということも

あります

例えば

a÷０とか

$0^{0}$ などがそうです

更に

高校では

sin cos tanを

幾何学的に

定義しますが

大学の解析学では

sin cosを

有理数係数の無限多項式（この表現は正確ではありません）で

定義したりします

sinx= $x-\dfrac{x^{3}}{3!}+\dfrac{x^{5}}{5!}-\dfrac{x^{7}}{7!}+\dfrac{x^{9}}{9!}-$ ・・・・

cosx= $1-\dfrac{x^{2}}{2!}+\dfrac{x^{4}}{4!}-\dfrac{x^{6}}{6!}+\dfrac{x^{8}}{8!}-\ldots$

さらには

ネイピア数と呼ばれる

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n}=e$

このeの指数関数 $y=e^{x}$ を考えると

$e^{x}=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^{2}}{2!}+\dfrac{x^{3}}{3!}+\dfrac{x^{4}}{4!}+\ldots$

虚数と呼ばれる二乗して‐１になるiという実数でないものと実数θの積を

これに代入すると

$e^{\theta i}=\cos \theta +i\sin \theta$

そして

θ＝πとすると

$e^{\pi i}=-1$ という

世界で最も美しい等式が

導かれます