今日は
施設のお掃除の日
水曜なのに
寝坊して
午後からしか来ない
Sちゃん
でも
久々に
M君が
やって来たので
麻雀出来ました
親マン
子マン
一度ずつ上がって
トップ
お昼ご飯は
八宝菜
丁度
お昼の時間に
イベントが重なり
どうしようかと
迷っているときに
英雄さんの
アドバイス
焦ってやると
失敗するよ
その忠言を
聴いて
大正解でした
スマホのバッテリーも
残り３０％を
切ったので
午後は
スマホを
スリープ状態にして
近所の公園まで
散歩のプログラムに
参加しました
公園で
CPのY先生が
ゲットした
コレクションを
見せてくださいました
神がかり的な
代物でした
英雄さんも
凄いけど
遙かに上をゆく
Y先生です
エクセレントカーブを
器用に
繰り出せる
その鮮やかさに
英雄さん
舌を巻いていました
帰宅後
スマホを
充電して
ゲームをやらずに
数学の問題を
やっていました
今日
Sちゃんから
出題された
京大の入試問題です
tan1°は
有理数か
無理数か
という問題です
Sちゃんも
解けてなかったのですが
三角関数の
加法定理を使うのでは
予想していました
はい
その通り
加法定理を使って
無理数であること
証明できます
背理法を使うのは
いうまでもありません
タンジェントの加法定理を使います
tan(α+β)={tanα+tanβ｝/{1-tanα・tanβ｝
この式のβがαならば
tan2α＝2tanα/(1-tanα^2)
α＝１°として
tanα＝ｘが有理数と
仮定します
tan2αの公式を
繰り返し
使うことで
２^n°のタンジェントが
Xを用いて
有理数であることが
求められます
ここで
初め
私は
tan36°が無理数であることを
用いて
ｘが有理数であること
否定することを
思いつきましたが
tan15°が無理数であることを
簡単に証明できるので
それを
以下に証明します
tan(α+β)の公式に
βが－βとすると
tan(－β)=-tanβなので
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα・tanβ)
１６＝２^４なので
ｘが有理数ならば
tan16°も有理数であることは
上記の通り
tan15°=tan(16°-1°)なので
tan15°も有理数であるはず
ここに矛盾が生じます
tan15°=tan(45°-30°)=(1-1/√3)/(1+1/√3)=(1-1/√3)(1-1/√3)/(1+1/√3)(1-1/√3)
=(√3-1)(√3-1)/(√3+1)(√3-1)=(4-2√3)/2=2-√3
ゆえに
tan1°は無理数であることが
証明されました
ところで
今回用いた
加法定理は
随分昔
東大の入試問題に
その公式が
成り立つことを
証明せよという
出題がありました
私は
行列式を
使って証明します
Sちゃん
加法定理の導き方
覚えているかな
自己陶酔は
ここまでとして
今日の収穫は
麻雀とtan1°とテラキオンです
特に
テラキオン入手は
仕組まれていたかのように
ゲットでした
サイトを
開いたら
丁度
イベントが
始まったところで
ギリギリ２０人枠の中に
入ることが出来て
最後のモンスターボールで
捕まえたというものでした
イーブイを
進化させる準備も
整いました
テンション高鳴る
今宵です
